Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)C、D是橢圓上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且CD∥AB，直線CD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M和N，且$\overrightarrow{MC}$=λ$\overrightarrow{CN}$，$\overrightarrow{MD}$=μ$\overrightarrow{DN}$，求λ+μ的取值范圍．

Answer 1

分析 由橢圓方程求得A（-2，0），B（0，1），進(jìn)一步求出AB所在直線的斜率，由CD∥AB，可設(shè)直線CD的方程為y=x+m，由已知，得M（-2m，0），N（0，m），設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程得x²+2mx+2m²-2=0，再由判別式大于0求出m的范圍，利用向量等式求得λ，μ，作和后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求出λ+μ∈（-∞，-2）∪（2，+∞）．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得A（-2，0），B（0，1），
∴${k}_{AB}=\frac{1}{2}$，
由CD∥AB，設(shè)直線CD的方程為y=$\frac{1}{2}$x+m，
由已知，得M（-2m，0），N（0，m），
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得x²+2mx+2m²-2=0，
由△=（2m）²-4（2m²-2）＞0，得m²＜2，
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，
由$\overrightarrow{MC}$=λ$\overrightarrow{CN}$，得（x₁+2m，y₁）=λ（-x₁，m-y₁），
∴x₁+2m=-λx₁，即λ=-1-$\frac{2m}{{x}_{1}}$，
同理，由$\overrightarrow{MD}$=μ$\overrightarrow{DN}$，得μ=-1-$\frac{2m}{{x}_{2}}$，
∴λ+μ=-2-2m（$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$）=-2-2m•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2+$\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$=$\frac{2}{{m}^{2}-1}$，
由m²＜2，得$\frac{2}{{m}^{2}-1}$∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
∴λ+μ∈（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．