Question

12．橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件知a-c=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能導(dǎo)出C的方程．
（2）設(shè)l：y=kx+m與橢圓C交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由條件知a-c=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=1，b=c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故C的方程為：y²+$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1．
（2）設(shè)l：y=kx+m與橢圓C交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0 （*）
x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+2}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-1}{{k}^{2}+2}$                         
∵$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$，
∴-x₁=3x₂
∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3x₂²，
消去x₂，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3（-$\frac{2km}{{k}^{2}+2}$）²+4×$\frac{{m}^{2}-1}{{k}^{2}+2}$=0
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0　                         
m²=$\frac{1}{4}$時(shí)，上式不成立；
m²≠$\frac{1}{4}$時(shí)，k²=$\frac{2-2{m}^{2}}{4{m}^{2}-1}$，
因λ=3，∴k≠0，∴k²=$\frac{2-2{m}^{2}}{4{m}^{2}-1}$＞0，
∴-1＜m＜-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜m＜1
容易驗(yàn)證k²＞2m²-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范圍為（-1，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題以平面向量為工具，考查了直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，以及根與系數(shù)的關(guān)系式在圓錐曲線中的應(yīng)用問題．