Question

6．已知f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（a-1）x-lnx（a為常數(shù)）．
（1）試討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設h（x）=-x²+x+b，當a=-$\frac{1}{2}$時，若對任意x₁∈（0，2），x₂∈R，都有f（x₁）≥h（x₂），求實數(shù)b取值范圍：
（3）證明：當n∈N^*時，1+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$$+…+\frac{1}{n}$≤n（1-ln2）+ln（n+1）．

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，分解因式，對a討論，當a≥0時，當a=-1時，當a＜-1時，當-1＜a＜0時，解不等式即可得到單調(diào)區(qū)間；
（2）求得f（x）在（0，2）內(nèi)的最小值，h（x）在R上的最大值，由恒成立思想可得f（x）_min≥h（x）_max，解不等式可得b的范圍；
（3）設a_n=1+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$$+…+\frac{1}{n}$-n（1-ln2）-ln（n+1），則a_n+1=1+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$$+…+\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$-（n+1）（1-ln2）-ln（n+2），求出a_n+1-a_n，判斷符號，即可得到數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（a-1）x-lnx的導數(shù)為f′（x）=ax-（a-1）-$\frac{1}{x}$
=$\frac{a{x}^{2}-（a-1）x-1}{x}$=$\frac{（x-1）（ax+1）}{x}$，x＞0，
當a≥0時，f′（x）＞0解得x＞1，f′（x）＜0解得0＜x＜1；
當a=-1時，f′（x）≤0恒成立，f（x）遞減；
當a＜-1時，f′（x）＞0解得-$\frac{1}{a}$＜x＜1，f′（x）＜0解得x＞1或0＜x＜-$\frac{1}{a}$；
當-1＜a＜0時，f′（x）＞0解得1＜x＜-$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0解得0＜x＜1或x＞-$\frac{1}{a}$．
綜上可得，當a≥0時，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
當a=-1時，f（x）在（0，+∞）遞減；
當a＜-1時，f（x）在（-$\frac{1}{a}$，1）遞增，在（1，+∞），（0，-$\frac{1}{a}$）遞減；
當-1＜a＜0時，f（x）在（1，-$\frac{1}{a}$）遞增，f（x）在（0，1），（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞減．
（2）當a=-$\frac{1}{2}$時，由（1）可得f（x）在（1，2）遞增，f（x）在（0，1），（2，+∞）遞減．
f（x）在（0，2）內(nèi)，x=1處取得最小值，且為-$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{4}$，
h（x）=-x²+x+b=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$+b，
即有x=$\frac{1}{2}$時，h（x）取得最大值$\frac{1}{4}$+b，
由恒成立思想可得$\frac{5}{4}$≥$\frac{1}{4}$+b，解得b≤1，
即有b的取值范圍是（-∞，1]；
（3）證明：設a_n=1+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$$+…+\frac{1}{n}$-n（1-ln2）-ln（n+1），
則a_n+1=1+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$$+…+\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$-（n+1）（1-ln2）-ln（n+2），
a_n+1-a_n=$\frac{1}{n+1}$-1+ln2-ln（n+2）+ln（n+1），
設g（x）=$\frac{1}{x+1}$-1+ln2-ln（x+2）+ln（x+1），x≥0，
g′（x）=-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$-$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+1}$=-$\frac{1}{（x+1）^{2}（x+2）}$＜0，
g（x）在[0，+∞）遞減，
即有n≥1時，a_n+1-a_n=$\frac{1}{n+1}$-1+ln2-ln（n+2）+ln（n+1）
≤$\frac{1}{2}$-1+ln2-ln3+ln2=2ln2-ln3-$\frac{1}{2}$＜0，
即有數(shù)列{a_n}遞減，
則有a_n≤a₁=0，
則有當n∈N^*時，1+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$$+…+\frac{1}{n}$≤n（1-ln2）+ln（n+1）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查不等式的恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意運用分類討論的思想方法和數(shù)列的單調(diào)性證明不等式是解題的關鍵．