Question

1．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（Ⅰ）求證：直線l與圓C必相交；
（Ⅱ）求直線l被圓C截得的弦長最短時直線l的方程以及最短弦長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)直線l方程得到直線l恒過M（3，1），求出|MC|距離小于半徑，即可得到直線l與圓C必相交；
（Ⅱ）當直線l⊥直線MC時，直線l被圓C截得的弦長最短，求出直線MC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為-1求出直線l斜率，根據(jù)M坐標確定出直線l方程，利用垂徑定理，勾股定理求出最短弦長即可．

解答 （Ⅰ）證明：根據(jù)題意得：直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0恒過M（3，1）點，
圓心C（1，2），半徑為5，
∵|CM|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$＜5，
∴M為圓內，
則直線l與圓C必相交；
（Ⅱ）當直線l⊥直線MC時，直線l被圓C截得的弦長最短，
設直線MC解析式為y=kx+b，
把M與C坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{5}{2}$，
∴直線MC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
∴直線l斜率為2，
∵直線l過點M，
∴直線l方程為y-1=2（x-3），即2x-y-5=0；
根據(jù)題意得：最短弦長為2$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

點評 此題考查了直線與圓的應用，涉及的知識有：圓的標準方程，恒過定點的直線方程，待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，垂徑定理，以及勾股定理，根據(jù)題意確定出直線l恒過定點M是解本題的關鍵．