Question

11．設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F1垂直x軸的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且△F₂AB的周長為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過圓D：x²+y²=4上任一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線m，n，直線m，n與圓D的另一交點(diǎn)分別為M，N．
①證明：m⊥n；
②求△MNP面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞1），把x=-c代入橢圓的方程可得：$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由△F₂AB的周長為4$\sqrt{3}$，可得4a=4$\sqrt{3}$，解得a，b即可得出．
（2）①設(shè)P（（x₀，y₀），則${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=4．當(dāng)切線的斜率都存在時(shí)，設(shè)切線的方程為：y-y₀=k（x-x₀），代入橢圓的方程可得：（1+3k²）x²+6k（y₀-kx₀）x+3（y₀-kx₀）²-3=0，△=0，化為（${x}_{0}^{2}$-3）k²-2kx₀y₀+${y}_{0}^{2}$-1=0．當(dāng)${x}_{0}^{2}$-3≠0時(shí)，k₁k₂=-1，可得m⊥n．當(dāng)${x}_{0}^{2}$-3=0時(shí)，也有m⊥n．即可證明．
②由①可得：m⊥n，可得MN為⊙D的直徑，因此MN過圓心即原點(diǎn)O．當(dāng)OP⊥MN時(shí)，△MNP面積取得最大值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞1），
把x=-c代入橢圓的方程可得y=$±\frac{^{2}}{a}$，
∴$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵△F₂AB的周長為4$\sqrt{3}$，∴4a=4$\sqrt{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$，b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）①設(shè)P（（x₀，y₀），則${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=4．
當(dāng)切線的斜率都存在時(shí)，設(shè)切線的方程為：y-y₀=k（x-x₀），
代入橢圓的方程可得：（1+3k²）x²+6k（y₀-kx₀）x+3（y₀-kx₀）²-3=0，
△=36k²$（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-12（1+3k²）[$（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-1]=0，
化為（${x}_{0}^{2}$-3）k²-2kx₀y₀+${y}_{0}^{2}$-1=0．
當(dāng)${x}_{0}^{2}$-3≠0時(shí)，k₁k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-1}{{x}_{0}^{2}-3}$=$\frac{4-{x}_{0}^{2}-1}{{x}_{0}^{2}-3}$=-1，∴m⊥n．
當(dāng)${x}_{0}^{2}$-3=0時(shí)，也有m⊥n．
綜上可得：m⊥n．
②由①可得：m⊥n，∴MN為⊙D的直徑，因此MN過圓心即原點(diǎn)O．
∴當(dāng)OP⊥MN時(shí)，△MNP面積取得最大值$\frac{1}{2}×2×4$=4．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓及其圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問題、三角形面積計(jì)算公式，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．