【題目】已知函數(shù)

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

(2)若

i)證明恰有兩個零點;

ii)設的極值點,的零點,且證明:.

【答案】(1)上單調(diào)遞增;(2)(i)證明見解析;(ii)證明見解析.

【解析】

(1)對函數(shù)求導,利用導數(shù)研究單調(diào)性即可;

(2)(i)求導研究其單調(diào)性,可得上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,其中,再證明,,,故利用零點存在性定理即可證明恰有兩個零點;

(ii)(i)可知,故結(jié)合即可求出,從而得到,再利用不等式(),即可放縮等式,得出結(jié)論.

(1)

,

因此,上單調(diào)遞增;

(2)(i),

求導得,,

,,;

,

上單調(diào)遞增,

,

故存在,使,,

且在,,

因此,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

所以,

,,

,

,(:取值不唯一)

恰有兩個零點;

(ii)的極值點,的零點,,

故由(i)可知,并且有

,

,

因此,,

而當,,

下面證明此結(jié)論:

,求導得,

則在上時,;上時,,

所以上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

因此,

所以,,

那么對于,

可得,,

.

練習冊系列答案
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