Question

17．已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體，在定義域內(nèi)存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）指出函數(shù)f（x）=$\frac{k}{x}$（k≠0，k為常數(shù)）與集合M的關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
（2）證明：函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{3}{8}$x²∈M．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，直接令$\frac{k}{{x}_{0}+1}$=$\frac{k}{{x}_{0}}$+k，解分式不等式得出無解，故f（x）∉M；
（2）只要存在一個(gè)x₀即可滿足題意，故探索發(fā)現(xiàn)令x₀=1時(shí)，滿足題意．

解答 解：（1）f（x₀+1）=$\frac{k}{{x}_{0}+1}$，
f（x₀）+f（1）=$\frac{k}{{x}_{0}}$+k，
∵$\frac{k}{{x}_{0}+1}$=$\frac{k}{{x}_{0}}$+k，
∴解得無解，故f（x）∉M；
（2）f（1）=$\frac{7}{8}$，f（2）=$\frac{7}{4}$=$\frac{7}{8}$+$\frac{7}{8}$，
故令x₀=1時(shí)，滿足題意，
∴函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{3}{8}$x²∈M．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)新定義題型的解題，難點(diǎn)是對(duì)題意的深刻理解．