Question

6．過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)．若|FP|=p，|FQ|=q，則$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{q}$=（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，e，p，由F為橢圓的左焦點(diǎn)，將F為極點(diǎn)，x軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，可得橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{ep}{1-ecosθ}$=$\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{2}cosθ}$，設(shè)P（ρ₁，θ），Q（ρ₂，π+θ），代入化簡即可得到所求值．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，p=$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=4-1=3，
由F為橢圓的左焦點(diǎn)，將F為極點(diǎn)，x軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，
可得橢圓的極坐標(biāo)方程為
ρ=$\frac{ep}{1-ecosθ}$=$\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{2}cosθ}$，
設(shè)P（ρ₁，θ），Q（ρ₂，π+θ），
即有$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{q}$=$\frac{1}{{ρ}_{1}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}}$=$\frac{1-\frac{1}{2}cosθ}{\frac{3}{2}}$+$\frac{1-\frac{1}{2}cos（π+θ）}{\frac{3}{2}}$
=$\frac{2}{\frac{3}{2}}$=$\frac{4}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的焦點(diǎn)弦的求法，注意運(yùn)用橢圓的極坐標(biāo)方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．