Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=0，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-1，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，證明S_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）通過對$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=0變形、整理可知a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，進(jìn)而計算出前幾項的值猜想通項公式，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）通過（1）裂項可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），進(jìn)而并項相加、放縮即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=0，
∴$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}}$=a_n-1，2-a_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
整理得：a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
又∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a₂=$\frac{1}{2-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
a₃=$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
…
猜想：a_n=$\frac{n}{n+1}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
①當(dāng)n=1時顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k-1（k≥2）時，有a_k-1=$\frac{k-1}{k}$，
則a_k=$\frac{1}{2-{a}_{k-1}}$=$\frac{1}{2-\frac{k-1}{k}}$=$\frac{k}{k+1}$，
即當(dāng)n=k時結(jié)論也成立；
由①②可知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{n}{n+1}$；
（2）證明：由（1）可知b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-1=$\frac{（n+1）（n+1）}{n（n+2）}$-1=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．