Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點是F₁（-2，0），離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如果直線l過橢圓的右焦點，且在y軸的截距是2，求直線l的方程．
（3）求以橢圓左焦點為圓心，與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由c=2，$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，解出即可得出．
（2）橢圓的右焦點（2，0），且在y軸的截距是2，可得直線l的方程為：$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$=1．
（3）左焦點是F₁（-2，0），到直線l的距離r=$\sqrt{2}$．即可得出圓的方程．

解答 解：（1）由c=2，$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，
解得c=2，a²=6，b²=2．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）橢圓的右焦點（2，0），且在y軸的截距是2，
則直線l的方程為：$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$=1，化為x+y-2=0．
（3）左焦點是F₁（-2，0），到直線l的距離r=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴要求的圓的方程為：（x+2）²+y²=2．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線的截距式、點到直線的距離公式、直線與圓相切的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．