8.已知n∈N*,在(x+2)n的展開式中,第二項系數(shù)是第三項系數(shù)的$\frac{1}{5}$,
(Ⅰ)展開式中二項式系數(shù)最大項;
(Ⅱ)若$(x+2)^{n}={a}_{0}+{a}_{1}(x+1)+{a}_{2}(x+1)^{2}+…+$${a}_{n}(x+1)^{n}$,求:
①a1+a2+…+an的值;
②a1+2a2+…+nan的值.

分析 (Ⅰ)由條件求得n=6,再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)、二項展開式的通項公式,求得展開式中二項式系數(shù)最大項.
(Ⅱ)在所給的等式中,①令x=-1,可得a0=1,再令x=0,可得要求的式子的值;②對于(x+2)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+${a}_{n}(x+1)^{n}$,兩邊同時對x求導(dǎo)數(shù),再令x=0,可得要求的式子的值.

解答 解:(Ⅰ)∵已知n∈N*,在(x+2)n的展開式中,第二項系數(shù)是第三項系數(shù)的$\frac{1}{5}$,
∴2${C}_{n}^{1}$=$\frac{1}{5}$•22•${C}_{n}^{2}$,求得n=6,
故展開式中二項式系數(shù)最大項為第四項,T4=${C}_{6}^{3}$•x3•23=160x3
(Ⅱ)①若$(x+2)^{n}={a}_{0}+{a}_{1}(x+1)+{a}_{2}(x+1)^{2}+…+$${a}_{n}(x+1)^{n}$=[(x+1)+1]6,
令x=-1,可得a0=1,
再令x=0,可得a0+a1+a2+…+an=64,∴a1+a2+…+an=63.
②對于(x+2)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+${a}_{n}(x+1)^{n}$,兩邊同時對x求導(dǎo)數(shù),
可得6(x+2)5=a1+2a2(x+1)+…+6a6(x+1)5
再令x=0,可得a1+2a2+…+nan =a1+2a2+…+6a 6=192.

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,二項展開式的通項公式,是給變量賦值的問題,關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果,選擇合適的數(shù)值代入,屬于中檔題.

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其中說法正確的序號是( 。
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