Question

3．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，PA=PB，E為AC的中點(diǎn)
（1）求證：PE⊥AB
（2）設(shè)平面PAB⊥平面ABC，PB=BC=2，AC=4，求二面角B-PA-C的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接PD，由等腰三角形三線合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由線面垂直的性質(zhì)得到AB⊥PE；
（2）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PAE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角B-PA-C的平面角的正弦值．

解答 （1）證明：取AB的中點(diǎn)D，連接PD，
∵PA=PB，D為AB中點(diǎn)，
∴PD⊥AB．
∵D、E分別為AB、AC中點(diǎn)，
∴DE∥BC，
∵BC⊥AB，
∴DE⊥AB，
又∵PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE
∴AB⊥平面PDE，
∵PE?平面PDE，
∴PE⊥AB；
（2）解：∵平面PAB⊥平面ABC，ED⊥AB，
∴ED⊥平面PAB，則PD⊥DE．
如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由PA=PB=BC=2，AC=4，
則A（0，-$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），E（1，0，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{AE}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
設(shè)平面PAC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=\sqrt{3}y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1，$\sqrt{3}$）
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}×1}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角B-PA-C的平面角的正弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．