Question

13．已知直線x+y-1=0和直線x-2y-4=0的交點為P．
（1）求過點P且與直線x-2y+1=0垂直的直線方程；
（2）若點Q在圓（x+1）²+y²=4上運動，求線段PQ的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）求出P的坐標，求出直線斜率，從而求出直線方程即可；
（2）設M（x，y），Q（x₀，y₀），表示出Q的坐標，得到${{（x}_{0}+1）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=4，代入可得（2x-2+1）²+（2y+1）²=4，求出M的軌跡方程即可．

解答 解：（1）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{x-2y-4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，故P（2，-1），
又所求直線與直線x-2y+1=0垂直，
故所求直線的斜率是-2，
故所求直線的方程是y+1=-2（x-2），
即2x+y-3=0；
（2）設M（x，y），Q（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}+2}{2}}\\{y=\frac{{y}_{0}-1}{2}}\end{array}\right.$，故$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-2}\\{{y}_{0}=2y+1}\end{array}\right.$，
又∵Q是圓（x+1）²+y²=4上的動點，
∴${{（x}_{0}+1）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=4，
代入可得（2x-2+1）²+（2y+1）²=4，
化簡得${（x-\frac{1}{2}）}^{2}{+（y+\frac{1}{2}）}^{2}=1$，
故M的軌跡方程是${（x-\frac{1}{2}）}^{2}{+（y+\frac{1}{2}）}^{2}=1$．

點評 本題考查了直線的垂直關系，考查軌跡方程問題，是一道中檔題．