(本小題滿分12分)
如圖是某直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖,在直觀圖中,M是BD的中點(diǎn),側(cè)視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.
(I)求出該幾何體的體積;
(II)求證:EM∥平面ABC;


 
  (III)試問(wèn)在棱DC上是否存在點(diǎn)N,使NM⊥平面?若存在,確定點(diǎn)N的位置;    若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 
解法一:由題意,Ea⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,AE//DC,AE=2,
DC=4,AB⊥AC,且AE=AC=2,
(I)∵EA⊥平面ABC,∴ea⊥ab, 又ab⊥ac,
   ∴ab⊥平面acde ,                …………2分
∴四棱錐b-acde的高h(yuǎn)=ab=2,梯形acde的面積S= 6
,


 
即所求幾何體的體積為4   ………………4分

  (II)證明:∵m為db的中點(diǎn),取bc中點(diǎn)G,連接em,mG,aG,
∴ mG∥DC,且
∴ mG   ae,∴四邊形aGme為平行四邊形,……6分
∴em∥aG,又AG平面ABC  
AG平面ABC,
∴EM∥平面ABC.……8分
(III)由(II)知,em∥aG,
又∵平面BCD⊥底面ABC,aG⊥bc,∴AG⊥平面BCD
∴EM⊥平面BCD,又∵EM平面BDE,
∴平面BDE⊥平面BCD                10分
在平面BCD中,過(guò)M作MN⊥DB交DC于點(diǎn)N,
∴MN⊥平面BDE 點(diǎn)n即為所求的點(diǎn) ………………10分



 
∴邊DC上存在點(diǎn)N,滿足DN=DC時(shí),

有MN⊥平面BDE.        …………12分
解法二:(I)(同解法一) …………4分
(II)由(I)知EA⊥AB,EA⊥AC,AB⊥AC。
∴以A為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz ………5分
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2),
D(0,2,4),M(1,1,2),
 …………6分
顯然,為平面ABC的法向量,
="0 " …………7分

∴EM∥平面ABC.         ……8分
(III)由(II)得
設(shè)在棱DC上存在點(diǎn),使MN⊥平面BDE,
 …………9分
 …………11分
∴在棱DC上存在點(diǎn)N(0,2,1),使MN⊥平面BDE.        …………12分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,直線,相交于,,
求證:平面
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

((本小題滿分12分)
已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E、FG分別是PA、PBBC的中點(diǎn).
(1)求證:EF平面PAD
(2)求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本題滿分12分) 如圖,四棱錐P—ABCD的底面ABCD為一直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn)。
(1)求證:BE//平面PAD;
(2)若BE⊥平面PCD,①求異面直線PD與BC所成角的余弦值;
②求二面角E—BD—C的余弦值。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

平面的斜線與平面所成的角是45°,則與平面內(nèi)所有不過(guò)斜足的直線所成的角中,最大的角是(   )
A.45°B.90°C.135°D.60°

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知正三棱錐的外接球的球心O滿足,且外接球的體積為,則該三棱錐的體積為              

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如題13圖,在正三棱柱中,已知點(diǎn)在棱上,且與平面所成的角的正弦值是____________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

棱長(zhǎng)為的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上,E、F分別是棱、的中點(diǎn),則直線EF被球截得的線段長(zhǎng)是__________.學(xué)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分13分)
已知是邊長(zhǎng)為的正三角形所在平面外一點(diǎn),,
點(diǎn)、分別是中點(diǎn),
(1)求證: 為異面直線的公垂線段
(2)求異面直線的距離.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案