Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，并且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1．
（1）求f（1）的值；
（2）若存在實(shí)數(shù)m，使得f（m）=2，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）采用賦值法，令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）即可；
（2）因?yàn)閒（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，所以至多存在一個(gè)m的值，使得f（m）=2，然后利用f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1，采用賦值法求出m的值．

解答： 解：
（1）令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
（2）根據(jù)f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1，
2=1+1=f（4）+f（4）=f（16）=f（m），又因?yàn)閥=f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
所以m=16．
即存在實(shí)數(shù)m=16，使得f（m）=2．

點(diǎn)評(píng)：這是一道抽象函數(shù)問題，諸如“f（xy）=f（x）+f（y），f（xy）=f（x）f（y），f（x+y）=f（x）+f（y），…”此類的條件，一般結(jié)合賦值法來求解．