Question

設(shè)數(shù)列{a_n}共有n（n≥3，n∈N）項(xiàng)，且a₁=a_n=1，對(duì)每個(gè)i（1≤i≤n-1，i∈N），均有

ai+1

ai

∈{

1

2

，1，2}．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的所有數(shù)列{a_n}（不必寫(xiě)出過(guò)程）；
（2）當(dāng)n=8時(shí)，求滿(mǎn)足條件的數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用新定義，可得a2=

1

2

或a₂=1或a₂=2，即可得出結(jié)論；
（2）確定由符合上述條件的7項(xiàng)數(shù)列{b_n}可唯一確定一個(gè)符合條件的8項(xiàng)數(shù)列{a_n}，b_i （1≤i≤7）中有k個(gè)2；從而有k個(gè)

1

2

，7-2k個(gè)1．當(dāng)k給定時(shí)，{b_n}的取法有

C

k 7

C

k 7-k

種，易得k的可能值只有0，1，2，3，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)n=3時(shí)，a₁=a₃=1．
因?yàn)?span id="kioesn8" class="MathJye">

a2

a1

∈{ 

1

2

 ，  1 ，  2 }，

a3

a2

∈{ 

1

2

 ，  1 ，  2 }，
即a2∈{ 

1

2

 ，  1 ，  2 }，

1

a2

∈{ 

1

2

 ，  1 ，  2 }，
所以a2=

1

2

或a₂=1或a₂=2．
故此時(shí)滿(mǎn)足條件的數(shù)列{a_n}共有3個(gè)：1 ，  

1

2

，  1； 1，1，1； 1，2，1．       …3分
（2）令b_i=

ai+1

ai

（1≤i≤7），則對(duì)每個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}，滿(mǎn)足條件：b_i∈{ 

1

2

 ，  1 ，  2 }（1≤i≤7）．
反之，由符合上述條件的7項(xiàng)數(shù)列{b_n}可唯一確定一個(gè)符合條件的8項(xiàng)數(shù)列{a_n}．…7分
記符合條件的數(shù)列{b_n}的個(gè)數(shù)為N．
顯然，b_i （1≤i≤7）中有k個(gè)2；從而有k個(gè)

1

2

，7-2k個(gè)1．
當(dāng)k給定時(shí)，{b_n}的取法有

C

k 7

C

k 7-k

種，易得k的可能值只有0，1，2，3，
故N=1+

C

1 7

C

1 6

+

C

2 7

C

2 5

+

C

3 7

C

3 4

=393．
因此，符合條件的數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為393．                                …10分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵．