Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，A，B是拋物線上橫坐標(biāo)不相等的兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)是（4，0），則|AB|是最大值為（　�。�

• A、2
• B、4
• C、6
• D、10

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意知，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)A（x₁，y₁）  B（x₂，y₂），利用線段的垂直平分線的性質(zhì)可得，|MA|²=|MB|²，整理可知x₁+x₂=4，利用不等式AB≤AF+BF即可求得答案．

解答： 解：∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)A（x₁，y₁）  B（x₂，y₂），
∵線段AB的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn)M（4，0），
∴|MA|²=|MB|²，即(4-x1)2+y12=(4-x2)2+y22，
又y12=4x₁，y22=4x₂，代入并展開得：
16+x12-8x₁+4x₁=x22-8x₂+16+4x₂，
即x12-x22=4x₁-4x₂，又x₁≠x₂，
x₁+x₂=4，
∴線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

（x₁+x₂）=2，
∴AB≤AF+BF=（x₁+

p

2

）+（x₂+

p

2

）=4+2=6（當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）．
即|AB|是最大值為6．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查線段的垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．