Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點，弦AB的中點坐標為(1，

1

2

)，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，離心率e=

1

2

，求出a，c，可求b，即可求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程作差，根據(jù)斜率公式、中點坐標公式即可求得斜率，再由點斜式即可求得此時直線方程；

解答： 解：（I）由題意設(shè)橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知得：a+c=3，e=

c

a

=

1

2

，…（3分）
∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）．設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則

x1+x2

2

=1，

y1+y2

2

=

1

2

，
由

3x12+4y12=12 3x22+4y22=12

，作差可得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0…（9分）
∴kAB=

(y1-y2)

(x1-x2)

=

3(x1+x2)

-4(y1+y2)

=

3×2

-4×1

=-

3

2

，
直線l方程y-

1

2

=-

3

2

(x-1)
即3x+2y-4=0…（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，凡涉及弦中點問題一般可考慮“平方差”法，即設(shè)出弦端點坐標，代入圓錐曲線方程作差，由中點坐標公式及斜率公式可得弦斜率及中點坐標關(guān)系．