Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個焦點，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，P是橢圓C上的一個動點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若點P在第一象限，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$≤$\frac{1}{4}$，求點P的橫坐標的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在過定點N（0，2）的直線l交橢圓C交于不同的兩點A，B，使∠AOB=90°（其中O為坐標原點）？若存在，求出直線l的斜率k；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓經(jīng)過點M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（3x²-8）$≤\frac{1}{4}$，由此能求出點P的橫坐標的取值范圍．
（Ⅲ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出直線的斜率．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個焦點，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=2\sqrt{3}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）∵c=$\sqrt{3}$，F(xiàn)₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}，0$），設(shè)P（x，y），
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}-x，-y$）•（$\sqrt{3}-x，-y$）=x²+y²-3，
∵$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x²+y²-3=${x}^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{4}-3$=$\frac{1}{4}$（3x²-8）$≤\frac{1}{4}$，
解得-$\frac{2\sqrt{6}}{3}≤x≤\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵點P在第一象限，∴x＞0，
∴0＜x＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴點P的橫坐標的取值范圍是（0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]．
（Ⅲ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l即為y軸，
A、B、O三點共線，不符合題意，
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
由△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，解得${k}^{2}＞\frac{3}{4}$，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
∵∠AOB=90°，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=$\frac{4（4-{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$=0，
解得k²=4，滿足k²＞$\frac{3}{4}$，
解得k=2或k=-2，
∴直線l的斜率k的值為-2或2．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查點的橫坐標的取值范圍的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積的合理運用．