Question

5．函數(shù)f（x）=e^ax-$\frac{1}{a}$lnx（a＞0）存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 令f（x）=0得e^ax=$\frac{1}{a}lnx$，根據(jù)y=e^ax與y=$\frac{1}{a}lnx$互為反函數(shù)可知兩圖象關(guān)于y=x對稱，故當(dāng)a取得最大值時，y=x與兩函數(shù)相切．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a的最大值即可．

解答 解：令f（x）=0得e^ax=$\frac{1}{a}lnx$，
∵a＞0，∴e^a＞1，
∵y=e^ax與y=$\frac{1}{a}lnx$互為反函數(shù)，
∴y=e^ax與y=$\frac{1}{a}lnx$的函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴當(dāng)y=x與y=$\frac{1}{a}lnx$相切時，f（x）恰好有一個零點，不妨設(shè)切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a{x}_{0}}=1}\\{{y}_{0}={x}_{0}}\\{{y}_{0}=\frac{1}{a}ln{x}_{0}}\end{array}\right.$，解得x₀=y₀=e，a=$\frac{1}{e}$．
∴當(dāng)a$＞\frac{1}{e}$時，y=e^ax與y=$\frac{1}{a}lnx$的函數(shù)圖象沒有交點，當(dāng)0$＜a＜\frac{1}{e}$時，y=e^ax與y=$\frac{1}{a}lnx$的函數(shù)圖象有兩個交點．
故答案為（0，$\frac{1}{e}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點的個數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．