Question

17．已知直線l：y=kx+$\sqrt{3}$與y軸的交點(diǎn)是橢圓C：x²+$\frac{y^2}{m}=1（{m＞0}）$的一個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，是否存在k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求得y=kx+$\sqrt{3}$與y軸的交點(diǎn)，即可求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由橢圓的性質(zhì)即可求得m值，即可求得橢圓C的方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得k的值．

解答 解：（1）由直線l：$y=kx+\sqrt{3}$與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為$F（0，\sqrt{3}）$，
∴橢圓C：${x^2}+\frac{y^2}{m}=1（{m＞0}）$的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為$F（0，\sqrt{3}）$，
∴橢圓的焦半距$c=\sqrt{3}$，則m=c²+1=3+1=4，
故所求C的方程為$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$．--------------------（5分）
（2）將直線l的方程$y=kx+\sqrt{3}$代入$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$，整理得$（{k^2}+4）{x^2}+2\sqrt{3}kx-1=0$．
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=-\frac{{2\sqrt{3}k}}{{{k^2}+4}}，{x_1}{x_2}=-\frac{1}{{{k^2}+4}}$．--------------（8分）
假設(shè)以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+\sqrt{3}k（{x_1}+{x_2}）+3$，于是$-\frac{{1+{k^2}}}{{{k^2}+4}}-\frac{{6{k^2}}}{{{k^2}+4}}+3=0$，解得$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，
經(jīng)檢驗(yàn)知：此時(shí)（*）式△＞0，適合題意．
故存在$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．-------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．