Question

18．若方程（$\frac{1}{2}$）^x-2x+3=0的解為x=a，則（a-1）${\;}^{\frac{1}{2}}$與（a-1）${\;}^{\frac{1}{3}}$的大小關(guān)系是（a-1）${\;}^{\frac{1}{2}}$＜（a-1）${\;}^{\frac{1}{3}}$．

Answer 1

分析 求出a的范圍，然后推出a-1的范圍，即可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷（a-1）${\;}^{\frac{1}{2}}$與（a-1）${\;}^{\frac{1}{3}}$的大小．

解答 解：方程（$\frac{1}{2}$）^x-2x+3=0的解為x=a，
可得y=（$\frac{1}{2}$）^x與函數(shù)y=2x-3的圖象如圖：

可得a∈$（\frac{3}{2}，2）$，a-1∈$（\frac{1}{2}，1）$．
y=（a-1）^x，是減函數(shù)，
所以（a-1）${\;}^{\frac{1}{2}}$＜（a-1）${\;}^{\frac{1}{3}}$．
故答案為：（a-1）${\;}^{\frac{1}{2}}$＜（a-1）${\;}^{\frac{1}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．