3．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1，點(diǎn)M與曲線C的焦點(diǎn)不重合，若點(diǎn)M關(guān)于曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，M，N是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)P恰好在雙曲線C上，則|AN-BN|=12．

分析 根據(jù)已知條件，作出圖形，MN的中點(diǎn)連接雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，便會(huì)得到三角形的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)及雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2a，即可求出||AN|-|BN||．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1的a=3，
設(shè)雙曲線C的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，如圖，
連接PF1，PF2，
∵F1是MA的中點(diǎn)，P是MN的中點(diǎn)，
∴F1P是△MAN的中位線，
∴|PF1|=$\frac{1}{2}$|AN|，
同理|PF2|=$\frac{1}{2}$|BN|，
∴||AN|-|BN||=2||PF1|-|PF2||，
∵P在雙曲線上，
根據(jù)雙曲線的定義知：
||PF1|-|PF2||=2a=6，
∴||AN|-|BN||=12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，同時(shí)考查三角形的中位線，運(yùn)用定義法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

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A．$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$B．$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$C．$\frac{{\sqrt{13}}}{2}$D．$\frac{{\sqrt{13}}}{3}$

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A．$\sqrt{2}$B．2$\sqrt{5}$C．2D．$\sqrt{5}$

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