Question

13．求與橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有公共焦點，且離心率$e=\frac{5}{3}$的雙曲線的方程．

Answer 1

分析 求得橢圓的焦點為（±5，0），設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），運用a，b，c的關(guān)系和離心率公式，解方程可得a=3，b=4，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$的焦點為（±5，0），
設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
可得c=5，即a²+b²=25，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$，
解得a=3，b=4，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查待定系數(shù)法求方程，同時考查離心率公式的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．