Question

【題目】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0），端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)；

（1）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)C（1,1）的直線m與M的軌跡交于G、H兩點(diǎn)，當(dāng)△GOH（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最大時(shí)，求直線m的方程并求出△GOH面積的最大值.

（3）若點(diǎn)C（1,1），且P在M軌跡上運(yùn)動(dòng)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)出A，M坐標(biāo)，利用M為線段AB中點(diǎn)，確定A，M坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，可得線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；（2）令，則，即時(shí)面積最大為2，從而得到直線m的方程；（3）設(shè)點(diǎn)，則，令，由直線與圓的位置關(guān)系得到的取值范圍.

（1）解：設(shè)點(diǎn)

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有

又點(diǎn)在圓上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程得：

點(diǎn)的軌跡方程為：

（2）令，則

當(dāng)，即時(shí)面積最大為2

又直線過點(diǎn)，，∴到直線的距離為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，到的距離為1不滿足，令

故直線的方程為：

（3）設(shè)點(diǎn)，由于點(diǎn)

則，令

有，由于點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，故滿足圓的方程.

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最大或最小

故有

所以