Question

今年冬季，我國(guó)大部分地區(qū)遭遇霧霾天氣，給人們的健康、交通安全等帶來(lái)了嚴(yán)重影響．經(jīng)研究，發(fā)現(xiàn)工業(yè)廢氣等污染物排放是霧霾形成和持續(xù)的重要因素，污染治理刻不容緩．為此，某工廠新購(gòu)置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，以降低對(duì)空氣的污染．已知過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量P（單位：mg/L）與過(guò)濾時(shí)間t（單位：小時(shí)）間的關(guān)系為P（t）=P₀e^-k t（P₀，k均為非零常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中P₀為t=0時(shí)的污染物數(shù)量．若經(jīng)過(guò)5小時(shí)過(guò)濾后還剩余90%的污染物．
（Ⅰ）求常數(shù)k的值；
（Ⅱ）試計(jì)算污染物減少到40%至少需要多少時(shí)間（精確到1小時(shí)，參考數(shù)據(jù)：ln0.2≈-1.61，ln0.3≈-1.20，ln0.4=-0.92，ln0.5=-0.69，ln0.9≈-0.11）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意，P（5）=P₀e^-k5=P₀90%；從而解得k；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（t）=P₀e^-kt=(

9

10

)

t

5

P₀≤P₀40%；即(

9

10

)

t

5

≤40%；從而可解出t≥44；從而得到最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，P（5）=P₀e^-k5=P₀90%；
解得，k=

ln10-ln9

5

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
P（t）=P₀e^-kt=(

9

10

)

t

5

P₀≤P₀40%；
即(

9

10

)

t

5

≤40%；
解得，t≥44；
故污染物減少到40%至少需要44小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于中檔題．