Question

8．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$為單位向量，則$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|+|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$的最大值為（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． 3
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據單位向量的定義與性質，利用模長公式，求出$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$時|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|取得最大值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$為單位向量，則|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，不妨設$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ）$\overrightarrow$=（1，0）；
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（cosθ+1）}^{2}{+sin}^{2}θ}$=$\sqrt{2+2cosθ}$=2|cos$\frac{θ}{2}$|，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（cosθ-1）}^{2}{+sin}^{2}θ}$=$\sqrt{2-2cosθ}$=2|sin$\frac{θ}{2}$|，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2（|cos$\frac{θ}{2}$|+|sin$\frac{θ}{2}$|）；
當cos$\frac{θ}{2}$≥0，sin$\frac{θ}{2}$≥0時，
|cos$\frac{θ}{2}$|+|sin$\frac{θ}{2}$|=cos$\frac{θ}{2}$+sin$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$；
當cos$\frac{θ}{2}$≤0，sin$\frac{θ}{2}$≥0時，
|cos$\frac{θ}{2}$|+|sin$\frac{θ}{2}$|=-cos$\frac{θ}{2}$+sin$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{θ}{2}$-$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$；
當cos$\frac{θ}{2}$≥0，sin$\frac{θ}{2}$≤0時，
|cos$\frac{θ}{2}$|+|sin$\frac{θ}{2}$|=cos$\frac{θ}{2}$-sin$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{2}$coss（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$；
當cos$\frac{θ}{2}$≤0，sin$\frac{θ}{2}$≤0時，
|cos$\frac{θ}{2}$|+|sin$\frac{θ}{2}$|=-cos$\frac{θ}{2}$-sin$\frac{θ}{2}$=-$\sqrt{2}$sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$；
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤2$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的數量積與模長公式的應用問題，是基礎題目．