Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=x³-$\frac{1}{2}$mx²+n，若函數(shù)y=g（x）的圖象經(jīng)過點M（1，-3），且在點M處的切線恰好與直線x+y-3=0垂直．
（1）求m，n的值；
（2）求函數(shù)y=g（x）在[0，2]上最大值和最小值；
（3）如果對任意s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]都有f（s）≥g（t）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入點（1，-3）可得1-$\frac{1}{2}$m+n=-3，求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得斜率為1，解方程可得m，n；
（2）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在[0，2]上的單調(diào)性，由單調(diào)性求最值；
（3）由（1）知，在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上，g_max（x）=g（2）=1；從而原問題等價于當x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx≥1恒成立，用分離系數(shù)法可得a≥x-x²lnx恒成立，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h（x）=x-x²lnx在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值，利用求導(dǎo)求單調(diào)性，再求最值即可．

解答 解：（1）y=g（x）的圖象經(jīng)過點M（1，-3），即有1-$\frac{1}{2}$m+n=-3，
又g′（x）=3x²-mx，
g（x）在點M處的切線恰好與直線x+y-3=0垂直，則有3-m=1，
解得m=2，n=-3；
（2）對于函數(shù)g（x）=x³-x²-3，x∈[0，2]，
g′（x）=3x²-2x，
令g′（x）=0，得x=0或x=$\frac{2}{3}$；
當x變化時，g（x）、g′（x）變化情況如下表：

x	0	（0，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，2）	2
g′（x）	0	-	0	+	+
g（x）	-3	遞減	極（最）小值-$\frac{85}{27}$	遞增	1

由上表可知：g_min（x）=-$\frac{85}{27}$，g_max（x）=g（2）=1，
（3）由（1）知，在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上，g_max（x）=g（2）=1．
則原問題等價于當x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx≥1恒成立，
等價于a≥x-x²lnx恒成立，
記h（x）=x-x²lnx，h′（x）=1-2xlnx-x，h′（1）=0；
記m（x）=1-2xlnx-x，m′（x）=-3-2lnx，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∴m′（x）=-3-2lnx＜0，
∴m（x）=1-2xlnx-x在[$\frac{1}{2}$，2]上遞減，
且當x∈[$\frac{1}{2}$，1）時，h′（x）＞0，x∈（1，2]時，h′（x）＜0，
即函數(shù)h（x）=x-x²lnx在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1）上遞增，在區(qū)間（1，2]上遞減，
∴h_max（x）=h（1）=1，
∴a≥1．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了恒成立問題的處理方法，化簡比較困難，屬于中檔題．