Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過左頂點(diǎn)A的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若|AB|=$\frac{4}{3}$，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題目條件可列式求得橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=k（x+$\sqrt{2}$），代入橢圓方程，由弦長(zhǎng)公式得到所需結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$則$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{a=\sqrt{2}}\end{array}\right.$得橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（Ⅱ）由題意直線得斜率存在，因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為（-$\sqrt{2}，0$）
設(shè)直線l的方程為：y=k（x+$\sqrt{2}$）
代入橢圓方程得：$（2{k}^{2}+1）{x}^{2}+4\sqrt{2}{k}^{2}x+4{k}^{2}-2=0$
因?yàn)橐桓鶠?{x}_{1}=-\sqrt{2}$，則另一根為${x}_{2}=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{2}{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$
則AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}$$\frac{2\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}=\frac{4}{3}$
化簡(jiǎn)得8k²-k-7=0，即k²=1，k=±1，則傾斜角為45°或135°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓錐曲線方程的求法和圓錐曲線與直線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題，在高考中時(shí)常涉及．