Question

7．如圖，在△ABC中，AB=2，∠ABC=θ，AD是邊BC上的高，當(dāng)θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值與最小值之差為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 通過向量的運(yùn)算法則及三角函數(shù)的定義可得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=4sin²θ，利用θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：易知$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$）=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BA}$，
∵AD是邊BC上的高，∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$，
又∵AB=2，∠ABC=θ，△ABD為直角三角形，
∴AD=ABsinθ=2sinθ，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$2sinθ×2×cos（\frac{π}{2}-θ）$
=4sinθ•sinθ
=4sin²θ，
∵θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴sinθ∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴4sin²θ∈[1，3]，即$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值與最小值分別為3與1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題以三角形為載體，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．