Question

1．設函數(shù)f（x）=mlnx+（m-1）x．
（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范圍．
（2）當m=1時，試問方程xf（x）-$\frac{x}{{e}^{x}}$=-$\frac{2}{e}$是否有實數(shù)根，若有，求出所有實數(shù)根；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調性，可得函數(shù)的最大值，M＞0，所以有mln$\frac{m}{1-m}$-m＞0，解之得m＞$\frac{e}{1+e}$．即可求m的取值范圍．
（2）m=1時，方程可化為xlnx=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$．構造函數(shù)h（x）=xlnx，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，證明h（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，即可得出結論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{（m-1）x+m}{x}$．
當m≤0時，由x＞0知f′（x）＜0恒成立，此時f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減．
當m≥1時，由x＞0知f′（x）＞0恒成立，此時f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增．
當0＜m＜1時，由f'（x）＞0，得x＜$\frac{m}{1-m}$，由f'（x）＜0，得x＞$\frac{m}{1-m}$，
此時f（x）在區(qū)間（0，$\frac{m}{1-m}$）內單調遞增，在區(qū)間（$\frac{m}{1-m}$，+∞）內單調遞減．
所以當0＜m＜1時函數(shù)f（x）有最大值，最大值M=f（$\frac{m}{1-m}$）=mln$\frac{m}{1-m}$-m．
因為M＞0，所以有mln$\frac{m}{1-m}$-m＞0，解之得m＞$\frac{e}{1+e}$．
所以m的取值范圍是（$\frac{e}{1+e}$，1）．
（2）m=1時，方程可化為xlnx=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$．
設h（x）=xlnx，則h′（x）=1+lnx，
∴x∈（0，$\frac{1}{e}$），h′（x）＜0，x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），h′（x）＞0，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
設g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$．g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
0＜x＜1時，g′（x）＞0，x＞1時，g′（x）＜0，
∴g（x）_max=g（1）=-$\frac{1}{e}$，
∵$\frac{1}{e}$≠1，∴h（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，
∴方程xf（x）-$\frac{x}{{e}^{x}}$=-$\frac{2}{e}$沒有實數(shù)根．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調性與最值，考查構造函數(shù)方法的運用，有難度．