Question

1．過拋物線y²=mx（m＞0）的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A，與拋物線的準(zhǔn)線的交點為B，點A在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為點C，若$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，則$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$的值為（　�。�

• A． -$\frac{3}{2}$m²
• B． $\frac{3}{2}$m²
• C． -6m²
• D． 12m²

Answer 1

分析 設(shè)拋物線準(zhǔn)線與x軸相交于點E，由$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，可得EF是△ABC的中位線．利用三角形中位線定理可得：|AC|=2×$\frac{m}{2}$，由拋物線定義可得：x_A+$\frac{m}{4}$=m，解得x_A，代入拋物線方程可得y_A．因此A$（\frac{3}{4}m，\frac{\sqrt{3}}{2}m）$，C$（-\frac{m}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}m）$．可得直線l的方程為：y=$\sqrt{3}$$（x-\frac{m}{4}）$，可得B點坐標(biāo)．再利用向量數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)拋物線準(zhǔn)線與x軸相交于點E，F(xiàn)$（\frac{m}{4}，0）$．
∵$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，∴EF是△ABC的中位線．
由三角形中位線定理可得：|AC|=2×$\frac{m}{2}$，∴x_A+$\frac{m}{4}$=m，解得x_A=$\frac{3}{4}$m，∴y_A=$\sqrt{m×\frac{3}{4}m}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．
∴A$（\frac{3}{4}m，\frac{\sqrt{3}}{2}m）$，C$（-\frac{m}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}m）$．
直線l的方程為：y-0=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}m-0}{\frac{3}{4}m-\frac{m}{4}}$（x-$\frac{m}{4}$），化為：y=$\sqrt{3}$$（x-\frac{m}{4}）$，
令x=-$\frac{m}{4}$，解得y_B=-$\frac{\sqrt{3}m}{2}$．∴B$（-\frac{m}{4}，-\frac{\sqrt{3}}{2}m）$．
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$=$（-\frac{m}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}m）$•$（0，\sqrt{3}m）$=-$\frac{3}{2}{m}^{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、三角形中位線定理、向量數(shù)量積運算性質(zhì)式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．