Question

2．傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線經(jīng)過拋物線x²=2py的焦點(diǎn)，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若三角形OAB的面積為4，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則p=±2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程表示出F的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式表示出直線l的方程，代入拋物線方程，求得丨AB丨和O到直線的距離，進(jìn)而利用三角形面積公式表示出三角形的面積建立等式取得a，則拋物線的方程可得．

解答 解：拋物線x²=2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，$\frac{p}{2}$），
則直線方程l為：y=$\sqrt{3}$x+$\frac{p}{2}$，代入拋物線方程，整理得：x²-2$\sqrt{3}$px-p²=0，
x₁+x₂=2$\sqrt{3}$p，x₁•x₂=-p²，
丨AB丨=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4p，
O到直線l的距離為：d=$\frac{p}{4}$，
三角形OAB的面積為S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{p}{4}$×4p=4，
解得：p=±2$\sqrt{2}$．
故答案為：±2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，涉及直線和圓錐曲線關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線和圓錐曲線，然后利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，是中檔題．