Question

已知x＞0，y＞0，且

2

x

+

1

y

=1，若x+2y＞m²+2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、-4＜m＜2
• B、-2＜m＜4
• C、m≥4或m≤-2
• D、m≥2或m≤-4

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由

2

x

+

1

y

=1，可得x+2y=（x+2y）（

2

x

+

1

y

）=4+

x

y

+4

y

x

，利用基本不等式可求x+2y得最小值，而x+2y＞m²+2m恒成立?m²+2m＜（x+2y）_min，據(jù)此求出m的取值范圍即可．

解答： 解：由

2

x

+

1

y

=1，可得x+2y=（x+2y）（

2

x

+

1

y

）=4+

x

y

+4

y

x

≥4+2

x y •4 y x

=8，
而x+2y＞m²+2m恒成立?m²+2m＜（x+2y）_min，
所以m²+2m＜8恒成立，
即m²+2m-8＜0恒成立，
解得-4＜m＜2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了基本不等式的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法的運(yùn)用，屬于中檔題，考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題m≤f（x）恒成立?m≤f（x）的最小值（m≥f（x）恒成立?m≥f（x）的最大值）．