Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點，直線y=$\frac{2}$與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC=90°，則該橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)右焦點F（c，0），將y=$\frac{2}$代入橢圓方程求得B，C的坐標(biāo)，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求值．方法二、運用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，結(jié)合離心率公式計算即可得到所求．

解答 解：設(shè)右焦點F（c，0），
將y=$\frac{2}$代入橢圓方程可得x=±a$\sqrt{1-\frac{^{2}}{4^{2}}}$=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
可得B（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{2}$），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{2}$），
由∠BFC=90°，可得k_BF•k_CF=-1，
即有$\frac{\frac{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}a-c}$•$\frac{\frac{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a-c}$=-1，
化簡為b²=3a²-4c²，
由b²=a²-c²，即有3c²=2a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
可得e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
另解：設(shè)右焦點F（c，0），
將y=$\frac{2}$代入橢圓方程可得x=±a$\sqrt{1-\frac{^{2}}{4^{2}}}$=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
可得B（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{2}$），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{2}$），
$\overrightarrow{FB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-c，$\frac{2}$），$\overrightarrow{FC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-c，$\frac{2}$），
$\overrightarrow{FB}$•$\overrightarrow{FC}$=0，則c²-$\frac{3}{4}$a²十$\frac{1}{4}$b²=0，
因為b²=a²-c²，代入得3c²=2a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
可得e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．