Question

13．設(shè)等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，若S₃+S₆=2S₉，證明a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 由S₃+S₆=2S₉，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到q³=-$\frac{1}{2}$，由此能證明a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

解答 證明：若等比數(shù)列{a_n}公比q=1，則S₃+S₆=9a₁，
而2S₉=18a₁，與S₃+S₆=2S₉矛盾，
∴q≠1，
∵S₃+S₆=2S₉，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}+\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}=\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{9}）}{1-q}$，
整理，得2q⁹-q⁶-q³=0，
解得${q}^{3}=-\frac{1}{2}$或q³=1，
∵q≠1，∴q³=-$\frac{1}{2}$，
∴a₂+a₅=a₂+a₂q³=a₂-$\frac{1}{2}$a₂=$\frac{1}{2}$a₂ a₈=a₂q⁶=a₂（-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$a₂
∴a₂+a₅=2a₈，∴a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．