Question

18．設(shè)關(guān)于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集為M，不等式x²-2x-3≤0的解集為N．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求集合M，N；
（2）若M∪N=N，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=1時(shí)，求出對(duì)應(yīng)不等式的解集，即得M、N；
（2）由M∪N=N得出M⊆N，討論a的取值，求出M⊆N時(shí)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，由已知得x（x-2）＜0，
解得0＜x＜2，
所以M={x|0＜x＜2}；…（3分）
又由已知得（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，
所以N={x|-1＜x＜3}；…（6分）
（2）因?yàn)镸∪N=N，所以M⊆N，…（8分）
①若a=-1時(shí)，M=∅，顯然有M⊆N，所以a=1成立；…（9分）
②若a＜-1時(shí)，因?yàn)閍+1＜0，所以M={x|a+1＜x＜0}；
因?yàn)镸⊆N，所以-1≤a+1＜0，解得-2≤a＜-1；…（11分）
③若a＞-1時(shí)，因?yàn)閍+1＞0，所以M={x|0＜x＜a+1}；
因?yàn)镸⊆N，所以0＜a+1≤3，解得-1＜a≤2；…（13分）
綜上所述，a的取值范圍是[-2，2]．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．