Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|．
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$|1-a|的解集是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對(duì)值的幾何意義直接求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）求出函數(shù)的最小值，然后求解關(guān)于x的不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$|1-a|的解集是空集，得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤3，即|x+$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|≤3．
不等式的幾何意義，是數(shù)軸是的點(diǎn)x，到$-\frac{1}{2}$與$\frac{3}{2}$的距離之和不大于3，
∴-1≤x≤2，
不等式的解集為{x|-1≤x≤2}；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|．
由絕對(duì)值的幾何意義可知：f（x）_min≥2，
關(guān)于x的不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$|1-a|的解集非空，
只須：2＜$\frac{1}{2}$|1-a|，解得a＜-3或a＞5．
關(guān)于x的不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$|1-a|的解集是空集，可得-3≤a≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．