Question

18．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，A=$\frac{π}{3}$，cosB=$\frac{1}{7}$．
（1）求sinC的值；
（2）若2c=b+2，求三邊的長(zhǎng)a、b、c．

Answer 1

分析 （1）由已知可求先求sinA，cosA，sinB，從而由兩角和的正弦函數(shù)公式即可得解．
（2）利用正弦定理寫(xiě)出ab關(guān)系式，結(jié)合已知條件與余弦定理即可求出b的值．

解答 解：（1）由∠A=$\frac{π}{3}$，得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosA=$\frac{1}{2}$，由cosB=$\frac{1}{7}$，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
所以，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{7}+\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$．
（2）∵sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
由正弦定理可知$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，可得$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$，解得a=$\frac{7b}{8}$…①，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，…②
∵2c=b+2，可得c=$\frac{2}$+1…③，
①③代入②可得：$\frac{49}{64}$b²=b²+（$\frac{2}$+1）²-b（$\frac{2}$+1），
化簡(jiǎn)整理得：b²=64，
解得b=8．從而由③可求：c=5，由①可求a=7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，考查基本知識(shí)的應(yīng)用以及計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．