Question

12．若把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=2asinθ（a＞0），又直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）寫出曲線C和直線l的普通方程；
（2）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（-4，-2），直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用關(guān)系式x=ρcosθ，y=ρsinθ把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，消t后把直線的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）利用參數(shù)方程和拋物線方程建立成關(guān)于t的一元二次方程組，利用根和系數(shù)的關(guān)系求出兩根和與兩根積，進(jìn)一步利用等比數(shù)列進(jìn)一步求出a的值．

解答 解：（1）由ρcos²θ=2asinθ，得ρ²cos²θ=2aρsinθ，
即x²=2ay；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，消去t得，x-y+2=0；
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入x²=2ay，得$（-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t）^{2}=2a•（-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t）$，
整理得：${t}^{2}-（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a）t+8a+32=0$．
由根與系數(shù)關(guān)系得：${t}_{1}+{t}_{2}=8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a，{t}_{1}{t}_{2}=8a+32$．
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，
∴$|{t}_{1}-{t}_{2}{|}^{2}=|{t}_{1}{t}_{2}|$，即$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-5{t}_{1}{t}_{2}=0$．
∴$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a）^{2}-5（8a+32）=0$，解得：a=1或a=-4（舍）．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，利用根和系數(shù)的關(guān)系建立方程組求解，等比數(shù)列的應(yīng)用，是中檔題．