Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2^x．若對(duì)任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥f²（x）恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-2]
• B、（0，2]
• C、(-∞，-

  3

  2

  ]
• D、[-

  3

  2

  ，+∞)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（|x+t|）≥f²（|x|）恒成立，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴不等式f（x+t）≥f²（x）恒成立等價(jià)為f（|x+t|）≥f²（|x|）恒成立，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2^x．
∴不等式等價(jià)為2^|x+t|≥（2^|x|）²=2^2|x|恒成立，
即|x+t|≥2|x|在[t，t+2]上恒成立，
平方得x²+2tx+t²≥4x²，
即3x²-2tx-t²≤0在[t，t+2]上恒成立，
設(shè)g（x）=3x²-2tx-t²，
則滿足

g(t)≤0 g(t+2)≤0

，
∴

3t2-2t2-t2≤0 3(t+2)2-2t(t+2)-t2≤0

，
即

0≤0 2t+3≤0

∴t≤-

3

2

，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍是t≤-

3

2

，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．