Question

4．設(shè)兩個非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線．
（1）如果$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$），求證：A、B、D三點共線；
（2）試確定實數(shù)k，使k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$和$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$共線；
（3）若$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為$\frac{2π}{3}$的兩個單位向量，試確定k的值，使$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$與k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$垂直．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{BD}$即可得出$\overrightarrow{BD}=5\overrightarrow{AB}$，于是A，B，D三點共線；
（2）令k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$）解出k；
（3）令（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0解出k．

解答 解：（1）證明：∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=5$\overrightarrow{{e}_{1}}+5\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\overrightarrow{BD}=5\overrightarrow{AB}$，
∴A，B，D三點共線；
（2）∵k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$和$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$共線，
∴存在非零常數(shù)λ使得k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
∵非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=λ}\\{1=λk}\end{array}\right.$，解得k=±1．
（3）${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}={\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=1×1×cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$．
∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$⊥k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∴（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0．
即k${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$-${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$+（1-k）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，
∴k-1+$\frac{k-1}{2}$=0，
解得k=1．

點評 本題考查了平面向量的共線定理，平面向量的數(shù)量級與向量垂直的關(guān)系，屬于中檔題．