Question

9．一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，俯視圖是等腰直角三角形，則該幾何體的體積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，表面積為$\sqrt{3}+\sqrt{7}+1$．

Answer 1

分析 由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，求出底面面積，代入棱錐體積公式，可得幾何體的體積，累加各個(gè)面的面積可得，幾何體的表面積．

解答 解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的后側(cè)面SAC與底面垂直，高SO為$\sqrt{3}$，
如圖：

其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，
AB=BC=$\sqrt{2}$，SA=SB=SC=2，
底面△ABC的面積為：$\frac{1}{2}×2×1=1$，
后側(cè)面△SAC的面積為：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
左右兩個(gè)側(cè)面△SAB和△SBC的底面邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，兩腰長(zhǎng)為2，
故底邊上的高為：$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
故左右兩個(gè)側(cè)面△SAB和△SBC的面積為：$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，
故幾何體的表面積：$\sqrt{3}+\sqrt{7}+1$，
幾何體的體積V=$\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}+\sqrt{7}+1$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．