Question

19．如圖，A，B，C，D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC=0.1km．求B，D的距離$\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{20}$．

Answer 1

分析 在△ACD中，∠DAC=30°推斷出CD=AC，同時(shí)根據(jù)CB是△CAD底邊AD的中垂線，判斷出BD=BA，進(jìn)而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．

解答 解：在△ACD中，∠DAC=30°，
∠ADC=60°-∠DAC=30°，
所以CD=AC=0.1．
又∠BCD=180-60°-60°=60°，
故CB是△CAD底邊AD的中垂線，
所以BD=BA，
在△ABC中，$\frac{AB}{sin∠BCA}=\frac{AC}{sin∠ABC}$，
sin²15°=$\frac{1-cos30°}{2}$，可得sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
即AB=$\frac{ACsin60°}{sin15°}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}$，
因此，BD=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}$．
故B、D的距離約為$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}$；
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題解答；考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能．