Question

14．若不等式（-1）ⁿa＜2+$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $[-2，\frac{3}{2}）$
• B． $（-2，\frac{3}{2}]$
• C． [-3，2]
• D． （-3，1）

Answer 1

分析 要使不等式${（-1）^n}a＜2+\frac{{{{（-1）}^{n+1}}}}{n}$對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，令f（n）=（-1）ⁿ•a-$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，
求得最大值，由最大值小于2，列出不等式求出a的范圍即可．

解答 解：由不等式${（-1）^n}a＜2+\frac{{{{（-1）}^{n+1}}}}{n}$得：（-1）ⁿ•a-$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$＜2，
令f（n）=（-1）ⁿ•a-$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，
當(dāng)n取奇數(shù)時(shí)，f（n）=-a-$\frac{1}{n}$；
當(dāng)n取偶數(shù)時(shí)，f（n）=a+$\frac{1}{n}$．
所以f（n）只有兩個(gè)值，當(dāng)-a-$\frac{1}{n}$＜a+$\frac{1}{n}$時(shí)，f（n）_max=a+$\frac{1}{n}$，
即a+$\frac{1}{n}$＜2，得到a＜$\frac{3}{2}$；
當(dāng)-a-$\frac{1}{n}$≥a+$\frac{1}{n}$時(shí)，即-a-$\frac{1}{n}$＜2，得a≥-2，
所以a的取值范圍為-2≤a＜$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生理解函數(shù)恒成立時(shí)的條件，利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．