Question

7．（已知曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程是ρ=-4cosθ．
（1）求曲線(xiàn)C₁與C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）A、B兩點(diǎn)分別在曲線(xiàn)C₁與C₂上，當(dāng)|AB|最大時(shí)，求△OAB的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （1）把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再把交點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)；
（2）畫(huà)出圖象，由平面幾何知識(shí)可知，A，C₁，C₂，B依次排列且共線(xiàn)時(shí)|AB|最大．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），得$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y-2=2sinθ}\end{array}\right.$，兩式平方作和得：x²+（y-2）²=4，即x²+y²-4y=0；
由ρ=-4cosθ，得ρ²=-4ρcosθ，即x²+y²=-4x．
兩式作差得：x+y=0，代入C₁得交點(diǎn)為（0，0），（-2，2）．
其極坐標(biāo)為（0，0），（2$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$）；
（2）如圖，
由平面幾何知識(shí)可知，A，C₁，C₂，B依次排列且共線(xiàn)時(shí)|AB|最大．
此時(shí)|AB|=2$\sqrt{2}$+4，O到AB的距離為$\sqrt{2}$．
∴△OAB的面積為S=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$+4）×$\sqrt{2}$=2+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．