Question

7．已知函數(shù)f（x）=asinx-bcosx（a，b為常數(shù)，a≠0，x∈R）的圖象關(guān)于x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱，則函數(shù)y=f（$\frac{3π}{4}$-x）是（　�。�

• A． 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱
• B． 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{3π}{2}，0）$對(duì)稱
• C． 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{3π}{2}，0）$對(duì)稱
• D． 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的對(duì)稱性求出b=-a，然后求出函數(shù)$y=f（\frac{3π}{4}-x）$的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對(duì)稱，
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b）=$±\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
平方得a²+2ab+b²=0，
即（a+b）²=0，
則a+b=0，b=-a，
則f（x）=asinx+acosx=$\sqrt{2}a$sin（x+$\frac{π}{4}$），又a≠0，
則$y=f（\frac{3π}{4}-x）$=$\sqrt{2}a$sin（$\frac{3π}{4}$-x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}a$sin（π-x）=$\sqrt{2}a$sinx為奇函數(shù)，
且圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出b=-a是解決本題的關(guān)鍵．