Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=4x+4．
（1）求a，b的值；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈（0，+∞），不等式f（x）＞4e^x（x+1）-m（x²+2）-2x恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程化為點(diǎn)斜式，可得f（0）=b=4，f′（0）=a+4-4=4，從而求得a，b的值．
（2）由題意可得m（x²+2）-x²-2x＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈（0，+∞）恒成立．令g（m）=（x²+2）m-x²-2x，則函數(shù)g（m）是關(guān)于m的一次函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，只需g（0）=-x²-2x≥0，由此求得x的取值范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，可得f′（x）=e^x（ax+a+b）-2x-4．
由曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=4x+4，即 y-4=4（x-0），
可得f（0）=b=4，f′（0）=a+4-4=4，故b=4，b=4，
（2）由（1）知，f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，
所以不等式即 4e^x（x+1）-x²-4x＞4e^x（x+1）-m（x²+2）-2x，
即m（x²+2）-x²-2x＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈（0，+∞）恒成立．
令g（m）=（x²+2）m-x²-2x，則函數(shù)g（m）是關(guān)于m的一次函數(shù)，
由x²+2＞0，故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
只需g（0）=-x²-2x≥0，求得-2≤x≤0，
故使原不等式恒成立的x的取值范圍是[-2，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查曲線在某一點(diǎn)的切線方程的求法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．