Question

15．設(shè)a＞b＞c，n∈N，且$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{n^2}{a-c}$恒成立，則n的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 分離參數(shù)n，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，將函數(shù)分離常數(shù)將解析式變形為兩部分的乘積是定值，利用基本不等式求出最值．

解答 解：∵$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$≥$\frac{{n}^{2}}{a-c}$恒成立，
∴n²≤$\frac{a-c}{a-b}$+$\frac{a-c}{b-c}$恒成立
∴n²≤$\frac{a-c}{a-b}$+$\frac{a-c}{b-c}$的最小值
∵$\frac{a-c}{a-b}$+$\frac{a-c}{b-c}$=$\frac{a-b+b-c}{a-b}$+$\frac{a-b+b-c}{b-c}$=2+$\frac{b-c}{a-b}$+$\frac{a-b}{b-c}$≥4
得n²≤4，∴n≤2，
故選：A．

點評 本題考查通過分離參數(shù)求函數(shù)的最值解決不等式恒成立問題、利用基本不等式求函數(shù)的最值要注意滿足的條件：一正、二定、三相等．