Question

【題目】（本題滿分10分）

已知橢圓 的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率.過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).求證：以為直徑的圓恒過一定點(diǎn).并求出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）＝1（2）存在定點(diǎn)M(1，0)，

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長為8，可得，即，利用， ，即可求得橢圓E的方程．（Ⅱ）由消元可得，利用動(dòng)直線與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得，由得，取

，猜想滿足條件的點(diǎn)存在，只能是，再進(jìn)行證明即可

試題解析：（1）∵,即.

又，所以.

又因?yàn)?/span>，即，所以，所以.

故橢圓的方程為.

（2）法一：由消去得.

因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，且，即

，化簡得.

此時(shí)， ，所以

由得

從而以線段為直徑的圓的方程滿足，化簡得

.

由對(duì)稱性知，點(diǎn)必在軸上.而當(dāng)時(shí)， ,易得，此式恒成立.

故命題成立.定點(diǎn)坐標(biāo)為.

法二：由消去得.

因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，且，即

，化簡得.

此時(shí)， ，所以

由得.

因?yàn)榇嬖诙�點(diǎn)滿足條件，由圖形對(duì)稱性知：點(diǎn)必在軸上.取

此時(shí)以為直徑的圓的方程為交軸于,;取，此時(shí)，以為直徑的圓的方程為，交軸于點(diǎn).所以滿足條件的點(diǎn)存在，其必為.

下面證明點(diǎn)滿足條件.

因?yàn)?/span>所以，故

恒有,故點(diǎn)恒在以線段為直徑的圓上.